张量变换律（tensor transformation law）
设两个人用不同的坐标网格描述同一片空间——一人用 x 坐标，另一人用带撇的 x' 坐标，也许是极坐标对笛卡尔，也许是两个不同的运动标架。对同一物理量，他们读出的分量阵列会不同。张量变换律正是说明一方分量如何换算成另一方的精确规则。它精确地陈述了一个量成为张量意味着什么：不只是带有指标，而是其指标按这一特定方式变化。
配方依指标位置而定。每个上（逆变）指标按新坐标对旧坐标的偏导数因子变换，partial x'^a / partial x^i，每个下（协变）指标按其逆因子变换，partial x^j / partial x'^b。于是对 (1,1) 型张量，变换律为 T'^a_b = (partial x'^a / partial x^i)(partial x^j / partial x'^b) T^i_j，对 i 与 j 求和。那些偏导数矩阵就是坐标变换的雅可比及其逆。(p, q) 型张量获得 p 个雅可比因子与 q 个逆雅可比因子。由于上、下因子互逆，把一个上指标与一个下指标缩并会使这两个因子相消——这正是缩并产生低一阶张量、而完全缩并产生所有观察者都认同的真标量的原因。
这条律法是张量微积分的守门人，也是物理中广义协变的引擎。若一个候选方程两边写成同阶张量且自由指标相同，变换律便保证：它若在一个坐标系成立，便在每个坐标系成立——于是单次推导一举确立一条在所有标架中都成立的自然律。其反面是标准的警示故事：像克里斯托费尔符号、以及张量的普通偏导数这类对象不满足此律（它们沾上多余的非张量项），这恰恰是为什么必须发明协变导数，把偏导数修补回张量。
逆变向量按 V'^a = (partial x'^a / partial x^i) V^i 变换；协变向量按 W'_b = (partial x^j / partial x'^b) W_j 变换。把它们缩并：V'^a W'_a = (partial x'^a / partial x^i)(partial x^k / partial x'^a) V^i W_k。两个雅可比因子塌缩为 delta^k_i，剩下 V^i W_i——在两个标架中是同一个标量。
相反的变换因子在缩并时相消——这就是完全缩并的张量是真标量的原因。
这条律法就是定义：“它是不是张量？”意思是“它的分量是否遵守这条确切的变换规则？”。张量的普通偏导数不满足它（冒出额外的二阶导数项），这正是协变导数存在的全部理由。