协变导数（covariant derivative）

求导是把邻近两点的量相比、再除以间距。这在平直笛卡尔坐标中运作得很漂亮，但它悄悄假定你能靠相减分量来比较两个不同点处的向量。在弯曲空间中，乃至在用曲线坐标的平直空间中，两点处的基向量指向不同，所以天真的逐分量相减把向量的真实变化与基的摆动搅在了一起。协变导数就是那个修好的导数，它只减去真正的变化——尊重几何的求导。

它通过加上一个由克里斯托费尔符号构造的修正项来做到这点。对逆变分量为 V^i 的向量场 V，沿坐标 j 方向的协变导数是 (nabla_j V)^i = partial_j V^i + Gamma^i_{jk} V^k，对 k 求和。第一部分是分量的普通偏导数；第二部分，克里斯托费尔修正，恰好抵消来自旋转基的虚假变化。对协变分量，修正以负号进入：(nabla_j W)_i = partial_j W_i - Gamma^k_{ji} W_k。回报是决定性的：不像裸偏导数，张量的协变导数本身是张量，所以用 nabla 写出的方程在每个坐标系中都成立。标准（列维-奇维塔）联络的一个定义性质是度规相容性：度规的协变导数为零，nabla g = 0，这意味着升降指标与求导可交换。

协变导数是弯曲空间微积分的核心操作。它把梯度、散度与方向导数推广到曲面与时空；它定义平行移动（当向量沿路径的协变导数为零时，它被“尽可能直地”携带）；测地线方程不过是一条曲线对自身切向作平行移动的陈述；迭代它便产生黎曼曲率张量，因为二阶协变导数不可交换正是曲率。唯一诚实的告诫：协变导数需要一个联络（克里斯托费尔符号的一种选择），而在黎曼流形上度规挑出唯一一个自然的联络——但这一操作不只是“偏导数加个凑数项”；修正项是由结果须按张量变换这一要求强制确定的。