克里斯托费尔符号（Christoffel symbol）
/ KRIS-toffel /
在弯曲或曲线坐标空间中，基向量本身随你从一点移到另一点而变化——在极坐标里，径向与角向在不同地方实实在在地指向不同方向。所以当你对一个向量求导时，变化的一部分是向量真的在变，另一部分只是底下的基在摆动。克里斯托费尔符号正是分离这两种效应的记账：它们精确记录基向量随你沿各方向迈步时如何转动。
记作 Gamma^k_{ij}（三个指标），一个克里斯托费尔符号回答：当你沿坐标 j 方向移动时，第 i 个基向量的变化有多少指向第 k 个基方向？它们完全由度规及其一阶导数算出，公式为 Gamma^k_{ij} = (1/2) g^{kl} (partial_i g_{jl} + partial_j g_{il} - partial_l g_{ij})，对 l 求和。对标准度规联络，它们在下方一对指标上对称（Gamma^k_{ij} = Gamma^k_{ji}）。关键是：尽管带有指标，克里斯托费尔符号并不是张量——在坐标变换下它们多出一个非齐次项（一个二阶导数片段），任何张量都不会有。这不是缺陷——这恰恰是所需的修正，好让它们构造出的协变导数成为张量。
克里斯托费尔符号是计算微分几何与广义相对论的主力。它们出现在协变导数（尊重弯曲几何的导数）中、在测地线方程中（最直路径方程是 d^2 x^k/ds^2 + Gamma^k_{ij} (dx^i/ds)(dx^j/ds) = 0，其中 Gamma 提供“虚拟的”离心与类科里奥利项），并作为黎曼曲率张量的构件。一个诚实而重要的微妙之处：因为它们不是张量，克里斯托费尔符号在平直空间中可以非零（在普通极坐标里就非零），且通过巧妙选坐标可在任一选定点处让它们全部为零。所以非零的 Gamma 并不意味着空间弯曲——只有它们导数的样式、组装成黎曼张量后，才能探测真正的曲率。
在平直二维极坐标 (r, theta) 中，唯一非零的克里斯托费尔符号是 Gamma^r_{theta theta} = -r 与 Gamma^theta_{r theta} = Gamma^theta_{theta r} = 1/r。在完全平直空间中这些非零符号，恰是当你在极坐标下写出牛顿定律时冒出的离心加速度 -r (dtheta/dt)^2 与类科里奥利项 (2/r)(dr/dt)(dtheta/dt)。
即便在平直空间，极坐标的克里斯托费尔符号也非零——它们编码离心与科里奥利项，而非曲率。
克里斯托费尔符号不是张量，非零也不能证明曲率：在极坐标里平直空间有非零的 Gamma，且在任一单点你都能选坐标让它们全部消失。真正的曲率存于由它们导数构造的黎曼张量中，那是无法变换掉的。