黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）
/ REE-mahn /
你如何从一个空间内部判断它是真的弯曲，还是只是用弯曲坐标描述？非平凡的度规或非零的克里斯托费尔符号都不是证据——平直空间在极坐标里两者都有。黎曼曲率张量正是那个诚实的、坐标无法蒙混的答案：一个张量，它为零当且仅当空间真正平直，而它的非零分量精确量度空间弯曲多少、在哪些平面内弯曲。
它最干净的含义是操作性的。取一个向量，沿由两个方向张成的微小闭环作平行移动；在平直空间它原样回来，但在弯曲空间它略微转动着回来。黎曼张量就是把那个环与那个向量变成转动的机器：向量的改变量等于（黎曼张量的一个缩并）乘以环的面积，取主导阶。等价地，它量度两个协变导数不可交换的程度：(nabla_i nabla_j - nabla_j nabla_i) V^k = R^k_{lij} V^l。用分量，它由克里斯托费尔符号及其一阶导数构造，R^l_{ijk} = partial_j Gamma^l_{ik} - partial_k Gamma^l_{ij} + Gamma^l_{jm} Gamma^m_{ik} - Gamma^l_{km} Gamma^m_{ij}。带四个指标，它携带大量数据——在 n 维中，计入其对称性后有 n^2(n^2-1)/12 个独立分量（二维 1 个，三维 6 个，四维时空 20 个）。缩并它得到里奇张量，再得标量曲率，正是进入爱因斯坦场方程的那些部分。
黎曼张量是微分几何的核心，也是广义相对论的数学心脏。在二维中它唯一的独立分量本质上就是高斯曲率，把这套高级机器接回普通曲面的曲率。在四维时空中它编码完整的潮汐引力场：邻近自由下落粒子的相对加速度（测地偏离）直接由黎曼支配，这就是为什么黑洞附近的潮汐拉伸是曲率效应，而非力。把它与克里斯托费尔符号区分开的关键诚实之处：黎曼张量是真正的张量，所以无法被变换掉——若它在一个坐标系非零，便在所有坐标系非零，这正是为什么它、而非联络，才是曲率真实而无歧义的量度。
在半径 a 的球面上，黎曼张量非零，其唯一的独立部分约化为高斯曲率 K = 1/a^2——这就是为什么在球面上沿闭环平行移动的向量回来时转过的角度等于（所围面积）除以 a^2。在平面或圆柱面上，黎曼张量每个分量都恒为零，证实二者内蕴皆平直。
在曲面上黎曼张量塌缩为高斯曲率；它恰在内蕴平直的空间上为零。
黎曼张量处处为零是平直空间的严格定义——且不像克里斯托费尔符号，它是真正的张量，所以任一标架中只要有一个非零分量，就证明了任何坐标变换都消不掉的曲率。符号与指标排序的约定在不同教科书间不同，所以比较公式前总要核对作者的定义。