高斯曲率与平均曲率（Gaussian and mean curvature）
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在曲面任一点，把两个主曲率（你朝不同方向看时找到的最急与最缓的弯曲）组合起来有两种自然方式：相乘，或取平均。相乘得高斯曲率 K = kappa_1 kappa_2；取平均得平均曲率 H = (kappa_1 + kappa_2)/2。这两个数以不同方式概括曲面在一点如何弯曲——它们回答的是很不一样的问题。
高斯曲率 K 是乘积，仅凭其符号便道出局部形状：K > 0 表示两个主曲率朝同向弯，曲面呈穹顶或碗状（球、蛋）；K < 0 表示二者反向弯，是马鞍（薯片、山口）；K = 0 表示至少一个主曲率为零，曲面在某方向是平的（平面、圆柱、圆锥）。惊人的事实是高斯的绝妙定理：K 是内蕴的——它可纯由第一基本形式算出，所以生活在曲面上的平面蚂蚁仅靠测距离与角度便能确定 K，根本无需知道曲面嵌在三维里。平均曲率 H 则相反，是外蕴的：它依赖曲面在空间中的置放，翻转法向时变号。H = 0 刻画极小曲面——肥皂膜为最小化面积而采取的形状。
K 与 H 之分贯穿几何与物理。K 支配内蕴事实：正曲率曲面上三角形的内角和大于 180 度；高斯-博内定理把曲面上 K 的总量与其拓扑（孔洞数）相联，是从局部曲率通往整体形状的惊人桥梁；地球无法画出无失真平面地图，不过是球面的 K 非零而纸的 K 为零。H 驱动界面物理：表面张力使肥皂膜停在 H = 0，而杨-拉普拉斯定律说弯曲液面两侧的压差正比于 H。一个值得指出的常见混淆：圆柱 K = 0（它内蕴是平的，你能把它展开），可 H 非零（它显然在弯）——证明两种曲率确实彼此独立。
半径 R 的球面两个主曲率都等于 1/R，故 K = 1/R^2（处处为正、每点相同），H = 1/R。平面 K = 0、H = 0。半径 R 的圆柱主曲率为 1/R 与 0，得 K = 0 但 H = 1/(2R)：像纸一样内蕴平直，却外蕴弯曲——这是 K 与 H 量度不同事物的最干净示范。
圆柱：K = 0（可展开、内蕴平直）但 H 非零（明显在弯）——二者独立。
高斯曲率 K 是内蕴的（绝妙定理），在不拉伸的弯曲下保持不变；平均曲率 H 是外蕴的，弯曲曲面或翻转法向时会改变。把二者混淆——例如因为圆柱“看起来弯”就以为它有非零高斯曲率——是经典错误。