第一基本形式（first fundamental form）
设你是一只生活在弯曲曲面上的蚂蚁——球面、柱面、马鞍面——你只能沿它爬行，看不见周围的三维空间。你还能度量什么？你能度量沿所走路径的距离、方向之间的夹角、以及小块的面积。第一基本形式就是这一切内蕴度量的完整记录：它是曲面自己的尺子，承自它在空间中的置放方式，却完全可以从内部使用。
具体说，取由参数化 r(u, v) 描述的曲面。参数中的一小步 (du, dv) 在曲面上产生真实位移 dr = r_u du + r_v dv，该位移的长度平方是 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2，其中 E = r_u dot r_u，F = r_u dot r_v，G = r_v dot r_v。此式即第一基本形式，常记作 I。三个系数 E, F, G 恰是曲面度规张量 g_{ij} 在 (u, v) 坐标下的分量：E 与 G 是对角元，F 是非对角元，F = 0 恰当坐标曲线成直角相交时成立。仅凭 I，你就能算弧长（对 I 的平方根积分）、角度（通过它所编码的点积）、与曲面面积（积分 sqrt(EG - F^2) du dv）。
第一基本形式是曲面内蕴几何的基石。一个居住者不离开曲面就能确定的一切——测地线（最短路径）、高斯曲率（凭高斯著名的绝妙定理）、平行移动、三角形的内角和——都可由 I 及其导数算出。这是通往黎曼几何与广义相对论的概念桥梁：时空也只能通过其度规来认知，外面没有更高维空间可供俯瞰。要分清的诚实区别：第一基本形式只捕捉内蕴数据（曲面如何度量自身）；曲面在周围空间中如何弯曲，是由第二基本形式携带的外蕴信息，而 I 对此一无所知。
一张平纸与卷起的圆柱面有相同的第一基本形式（卷曲不拉伸纸），所以蚂蚁靠在曲面上测距离与角度无法把它们区分开。这就是为什么你能把纸卷成圆柱而不撕不皱——也是为什么球面的平面地图无法不失真，因为球面的 I 与平面的 I 确实不同。
纸与圆柱共享同一个 I——内蕴几何相同——尽管它们在空间中弯曲方式不同。
第一基本形式只编码内蕴几何；平面与弯曲的圆柱共享它。曲面在环境空间中凸起还是凹陷是外蕴的，存于第二基本形式——然而值得注意的是，高斯曲率竟是内蕴的，仅凭 I 即可算出。