第二基本形式（second fundamental form）
第一基本形式是曲面上的蚂蚁从内部能度量的东西；第二基本形式是上方飞翔的鸟能看见、而蚂蚁看不见的东西——也就是曲面如何离开自身的切平面、弯入周围空间。站在曲面一点，铺下恰好在那里相切的平坦切平面，看曲面随你朝不同方向移动如何从该平面剥离。这一剥离，正是第二基本形式所记录的。
确切地说，设 n 是曲面某点的单位法向。当你迈出一小步 (du, dv)，曲面离开其切平面，其主导行为是二次型 II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2，其中 L = r_uu dot n，M = r_uv dot n，N = r_vv dot n（这些分量量度曲面的二阶导数沿法向的成分）。把一个切方向喂给 II，便量出该方向上的法曲率——朝那个方向走时曲面在空间中弯得多急。主曲率 kappa_1 与 kappa_2 是最大与最小的这种法曲率，在相互垂直的主方向上取得；它们是形状算子（由 II 与 I 共同构造的线性映射）的本征值。由它们便得到曲面两个著名的曲率。
第二基本形式是外蕴曲率的载体——曲面形状中依赖于它如何嵌入、而不只依赖内部度规的那部分。它把平纸（II = 0，不弯入空间）与卷起的圆柱（朝一个方向弯，II 非零）区分开，尽管二者共享同一个第一基本形式。它支配光如何从曲面镜反射、薄壳或薄膜如何抵抗弯曲、肥皂膜如何平衡表面张力（极小曲面恰是那些平均曲率为零者，这是关于 II 的陈述）。深刻的对照是高斯的绝妙定理：尽管 L, M, N 是外蕴的，给出高斯曲率的那个特定组合竟是内蕴的——单纯弯曲而不拉伸，无法改变它。
在像 z = x^2 - y^2 的马鞍面上，你朝一个方向走时曲面上弯，朝垂直方向走时下弯。第二基本形式在这两个主方向上符号相反，所以主曲率 kappa_1 与 kappa_2 异号——这是马鞍（负高斯曲率）的标志。在球面上两个主曲率同号：它处处朝同一方向弯。
异号主曲率标记马鞍；同号标记穹顶。II 读取弯入空间的程度。
第二基本形式是外蕴的：它依赖所选单位法向的方向（翻转 n 翻转其符号）以及曲面在空间中的置放，不像内蕴的第一形式。其符号约定在不同教科书间不一，所以总要核对作者用的是哪个法向定向。