曲线的曲率与挠率（curvature and torsion）
两个数几乎道尽一条曲线在某点如何置身于空间：它弯得多急，以及它扭出当下所处平面多少。开车绕一个窄环岛，你感到强烈的曲率；开车上一条螺旋停车坡道，在弯曲之上你还感到一种拧动的、离面的扭转——那就是挠率。曲率 kappa 与挠率 tau 是这两种效应的精确量度。
曲率 kappa 量度单位切向沿每单位行进长度转动多快：kappa = dT/ds 的模，其中 s 是弧长。直线 kappa = 0；半径 R 的圆有常数 kappa = 1/R，所以越小的圆越弯。其倒数 1/kappa 是曲率半径——在该点最贴合曲线的圆（密切圆）的半径。挠率 tau 量度曲线所在平面（由 T 与 N 张成的密切平面）随你移动倾斜多快；等价地说副法向 B = T cross N 旋转多快，由 dB/ds = -tau N 给出。平面曲线处处 tau = 0，因为它从不离开其平面。对曲线 r(t) 有一组干净的计算公式：kappa = (r' cross r'') 的模除以 (r') 模的三次方，tau = (r' cross r'') dot r''' 除以 (r' cross r'') 模的平方。
这些不变量是曲线局部理论的核心：曲线基本定理说，两个函数 kappa(s) > 0 与 tau(s) 在刚体运动意义下唯一确定一条空间曲线，所以曲率与挠率是形状的完整指纹。实践上，曲率支配道路与铁路设计中的舒适与安全（kappa 的突变引起颠簸，所以工程师插入 kappa 平滑过渡的缓和曲线），它决定梁中的弯曲应力以及透镜与反射镜的聚焦，挠率则描述 DNA 的超螺旋与缆绳和弹簧的扭转。诚实的提醒：kappa 与 tau 是逐点（局部）量——它们描述曲线在无穷小邻域内的样子，对曲线是否闭合或打结这类整体特征不作直接陈述。
平铺在桌面上、半径 R 的圆有常曲率 kappa = 1/R 与零挠率（它从不离开桌面所在平面）。加上稳定的竖直上升把它抬成螺旋线，挠率便变为非零——曲线如今拧出每一个瞬时平面。曲率回答“弯得多紧？”，挠率回答“它离开纸面多少？”。
曲率是平面内的弯曲；挠率是逃离平面。圆只有前者。
不要把曲线的挠率（一个扭出平面的数）与曲面的高斯曲率或空间的曲率混淆——它们是不同的概念。而 tau 的符号编码右旋还是左旋的扭转，所以它携带定向信息，不像 kappa 取非负。