极小曲面（minimal surface）

把弯曲的金属线圈浸入肥皂水再拉出来：张在线圈上的薄膜就是一个极小曲面。表面张力把膜拉紧，它安顿成在所有具有同一边界的曲面中面积最小的形状。变分问题是：给定一条固定的边界曲线（金属线），张在其上的哪个曲面面积最小？肥皂膜从物理上解它，变分法在纸上解它。

面积本身就是一个泛函。对于写成区域上高度 z = u(x, y) 的曲面，面积是 sqrt(1 + u_x^2 + u_y^2) dx dy 的二重积分，其中 u_x、u_y 是偏导数。在边界保持固定下使它最小，给出一个欧拉-拉格朗日方程——现在是一个偏微分方程，即极小曲面方程——其几何含义令人印象深刻：极小曲面处处平均曲率为零。在每一点，曲面在一个方向上向上弯曲的量，恰好等于它在垂直方向上向下弯曲的量，于是两个曲率相互抵消。这就是肥皂膜呈鞍形、绝不像气球那样鼓起的原因（气球内部有压强，平均曲率非零）。

最简单的非平凡例子是悬链面（catenoid），即把悬链线旋转所得的旋转曲面；它是张在两个同轴圆环上的极小曲面，也是肥皂膜在两个圆形线箍之间所取的形状。极小曲面在建筑（张拉织物屋顶用最小面积的膜）、材料科学（界面与泡沫）以及纯几何（极小曲面研究、普拉托问题，是一个深刻且至今活跃的领域）中都很重要。一个诚实的提醒：平均曲率为零是驻定条件，故极小曲面是面积的临界点；当边界框太宽时，张在其上的膜可能变得不稳定，不再是真正的面积最小者，尽管它仍满足那个方程。