等周问题（isoperimetric problem）
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你有一段固定长度的篱笆。用它能围住的田地面积最大是多少？这个自古已知、与狄多女王把牛皮割成细条的传说相连的经典答案是圆：在所有给定周长的闭曲线中，圆围住的面积最多。等周（周长相等）问题是带约束变分问题的原型——在另一个泛函（周长，或长度）保持固定的同时，优化一个泛函（面积）。
要紧的是它的结构：你在固定长度约束下最大化一个面积泛函。工具是泛函的拉格朗日乘数：你构造一个合并被积函数（面积被积函数）减去 lambda 乘（长度被积函数），对这个组合应用欧拉-拉格朗日方程，那个唯一的未知常数 lambda 随后由长度约束确定下来。在平面上把它做完，给出一条曲率为常数的曲线——半径由 lambda 决定的圆。与之相伴的等周不等式把它表述为一个干净的界：对任何闭平面曲线，4 pi 乘面积至多等于周长的平方，等号仅对圆成立。
「等周」这个名字此后成了任何带积分约束的变分问题的通用标签，即便其中并不涉及周长——悬链（悬链线）问题，即在固定长度下最小化能量，从广义上说就是一个等周问题。圆的结论推广到高维（球面在给定表面积下围住最多体积，这就是气泡是圆的、以及被引力聚拢的行星近乎球形的原因），并支撑着几何分析的许多内容。一个诚实的说明：等周极值曲线满足乘数方程，但你仍须确认它是最大者（而非最小者或鞍点）——这里圆确实是最大者，但单凭欧拉-拉格朗日这一步并不能证明它。
用 100 米篱笆，圆围住约 796 平方米（半径 100/(2 pi) ≈ 15.9 米），而同周长的正方形只围住 625 平方米。同样的篱笆，更多的地——圆胜出，恰如等周不等式所预言。
在固定周长下圆围住最大面积；正方形不及。
「等周问题」如今是任何带积分约束的变分问题的统称，不仅限于周长对面积。其定义特征是用乘数处理的那个固定积分附加条件。