欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）
/ OY-ler la-GRAHNZH /
若一条曲线使某泛函取得最小或驻定，欧拉-拉格朗日方程就是该曲线必须满足的微分方程。它是变分法里与普通法则「令导数为零」相对应的东西。单变量微积分用一个代数方程回答「哪个点？」，变分法则用这个微分方程回答「哪条曲线？」。把它（连同边界条件）解出来，就交给你候选的最优路径。
对泛函 J[y] = 从 a 到 b 对 L(x, y, y') dx 积分，方程用文字说就是：（L 对 y' 的偏导）对 x 的导数，等于 L 对 y 的偏导。用紧凑符号写作 d/dx 作用于 (dL/dy') = dL/dy，或等价地 dL/dy 减去 d/dx 作用于 (dL/dy') = 0。它直接来自一阶变分：你扰动曲线，对 y' 项分部积分以暴露出单独的 eta，基本引理便让你丢掉积分。由于 d/dx 经链式法则展开会出现含 y'' 的项，这一般是关于 y(x) 的二阶微分方程，连同两个端点条件一起求解。
这一个方程是几乎所有经典变分结果以及全部分析力学背后的主力。喂给它弧长被积函数，它返回直线；喂给它滑行时间被积函数，它返回最速降线（摆线）；喂给它力学拉格朗日量（动能减势能），它返回牛顿运动定律。一个诚实的提醒：欧拉-拉格朗日方程的解只是一条极值曲线——一条驻定路径。它是最优的必要条件，并不保证最优存在；你仍需二阶变分，或物理与凸性论证，来确认真正的极小存在且确被取得。
对弧长，L = sqrt(1 + y'^2) 有 dL/dy = 0，故方程说 d/dx 作用于 (dL/dy') = 0，即 y'/sqrt(1+y'^2) 为常数。常斜率意味着 y' 为常数，于是 y 是直线——两点间最短路径，是推导出来而非假设的。
把弧长代入欧拉-拉格朗日方程，直线作为最短路径自然得出。
当 L 不显含 x 时，别去硬解完整的二阶方程——贝尔特拉米恒等式给出一个容易得多的首次积分。并且记住：解是极值曲线，并不自动就是极小。