拉格朗日力学与哈密顿力学（Lagrangian and Hamiltonian mechanics）
/ la-GRAHN-jee-un, ham-il-TOH-nee-un /
拉格朗日力学与哈密顿力学是牛顿动力学的两种重新表述，直接从变分法中生长出来。你不去追踪矢量力，而是用标量能量函数描述整个系统，让一个极值原理来完成工作。它们不是新物理——对普通力学，它们给出与牛顿完全相同的运动——但对复杂系统强大得多，而且是现代物理实际所用的语言。
拉格朗日力学从拉格朗日量 L = T - V（动能减势能）出发，用任何方便的广义坐标 q 写出。哈密顿原理，即对 S = 对 L dt 积分有 delta S = 0，给出欧拉-拉格朗日运动方程，这里称为拉格朗日方程：对每个坐标 d/dt 作用于 (dL/dq') = dL/dq。哈密顿力学接着做一次变量替换，即勒让德变换，用动量 p = dL/dq' 替换速度 q'，用哈密顿量 H =（p q' 之和）- L 替换 L，对标准系统 H 等于总能量 T + V。那个单一的二阶拉格朗日方程裂为一对干净的一阶方程：q' = dH/dp 和 p' = -dH/dq，称为哈密顿正则方程。
为何要费心搞两种重新表述？拉格朗日观点使约束与对称变得透明——选取尊重约束的坐标，不需要的力便消失，而 L 的每个连续对称由诺特定理产生一个守恒律。哈密顿观点在相空间（位置与动量合在一起）中工作，揭示动力学的几何结构，驱动统计力学与混沌理论，并且是量子力学的发射台——在那里哈密顿量成为能量算符。诚实的适用范围：这些方法假设力来自势（或以其他方式可写进拉格朗日量）；真正耗散的力如滑动摩擦需要额外的机制，单纯的 L = T - V 并不能捕捉它。
对长 l、角度 theta 的单摆，L = (1/2) m l^2 theta'^2 + m g l cos(theta)。拉格朗日方程给出 theta'' + (g/l) sin(theta) = 0。动量为 p = m l^2 theta'，哈密顿量 H = p^2/(2 m l^2) - m g l cos(theta) 是守恒的总能量。
一个标量拉格朗日量产生单摆方程；它的勒让德变换给出能量。
仅对标准的「自然」系统（动能是速度的二次型、势与速度无关、不显含时间），H 才等于总能量 T + V。一般而言 H 是 L 的勒让德变换，未必就是能量。