诺特定理（Noether's theorem）
/ NUR-ter /
为什么能量守恒？为什么动量守恒？为什么角动量守恒？长久以来这些是各自独立的经验事实。诺特定理，由埃米·诺特（Emmy Noether）于 1918 年证明，揭示它们其实是同一个事实换了不同的外衣：物理系统作用量的每一个连续对称都对应一个守恒量，反之亦然。对称与守恒是同一枚硬币的两面。它是全部数学物理中最深刻、最优美的结果之一，而且完全栖身于变分法之中。
精确的陈述是：若作用量 S = 对 L dt 积分在一族连续变换下（在一阶意义上）保持不变——平移所有坐标、旋转它们、移动时钟——那么就存在一个由坐标与动量构成的特定组合，其值沿欧拉-拉格朗日方程的每个解保持常数。这套配方甚至告诉你那个守恒量是什么，它直接由拉格朗日量和对称的生成元搭出。三个标志性情形：对时间平移的对称（定律明天不变）给出能量守恒；对空间位置平移的对称（定律在此处与彼处相同）给出线动量守恒；对旋转的对称（定律不在乎你朝哪个方向）给出角动量守恒。
诺特定理把守恒律从一袋彼此独立的规则变成一条统一的组织原理，而且可以一路放大：在场论中它把标准模型的对称与电荷之类的守恒荷联系起来，而寻找新对称就是寻找新守恒律。你先前遇到的贝尔特拉米恒等式正是最简单的实例——「不显含 x」就是时间平移对称，那个守恒的贝尔特拉米量就是能量。两个诚实的限定：定理要求连续对称（像镜面反射那样的离散对称不会以这种方式给出诺特守恒律），而且那个对称必须是作用量的对称，而不仅仅是运动方程或轨迹的对称。
若拉格朗日量 L 不依赖某个特定坐标 q（比如一个角度，故 L 关于那条轴有旋转对称），则对应的动量 p = dL/dq' 守恒：欧拉-拉格朗日方程化为 p' = 0。旋转对称，角动量守恒——一行写下的诺特。
L 中缺失的坐标（循环坐标）意味着它的动量守恒——微缩版的诺特定理。
对称必须是作用量本身的连续对称。离散对称（如镜面翻转）以及仅是运动方程的对称，都不会以这种方式产生诺特守恒量。