哈密顿原理（Hamilton's principle）
/ HAM-il-tun /
牛顿通过逐刻推动来告诉你一个粒子如何运动：力等于质量乘加速度，在每一时刻施加。哈密顿原理用一种全然不同的语言——整体地、一次性地——告诉你同一个运动。在系统能在某一时刻的起始位形与之后某时刻的终止位形之间所取的一切可设想的路径中，自然实际遵循的那条，是使单独一个数（作用量）驻定的那条。系统是凭一个极值原理「选定」它整条轨迹，而非靠逐刻的推动。
作用量 S 是一个泛函：S = 对时间积分的拉格朗日量 L dt，其中对普通力学 L =（动能）减（势能），即 T - V。哈密顿原理说：真实运动使 S 的一阶变分为零，delta S = 0，在所有时间端点相同的固定路径中取。把欧拉-拉格朗日机器用到这个作用量上，运动方程便冒出来。对单个粒子 L = (1/2) m v^2 - V(x)，欧拉-拉格朗日方程是 m x'' = -dV/dx，这正是牛顿第二定律。同样的配方，配上正确的拉格朗日量，便生成摆、行星、场等等的动力学。
哈密顿原理的威力在于它不依赖坐标且具统一性。你用任何方便的坐标——角度、距离、旋转参考系——写下一个标量，即拉格朗日量，欧拉-拉格朗日方程便自动产生正确的运动方程，约束力与虚拟力都被优雅地处理。这就是分析力学、场论、乃至广义相对论和粒子物理标准模型都被表述为「作用量驻定」的原因。一个诚实的澄清：流行的名字「最小作用量」言过其实——作用量是被弄成驻定的，仅在足够短的时间区间上才真正是极小；时间较长时，真实路径可能是作用量的鞍点而非极小。驻定，而未必最小，才是精确的说法。
对弹簧上的质量，L = (1/2) m x'^2 - (1/2) k x^2。作用量是 对 L dt 积分，delta S = 0 给出欧拉-拉格朗日方程 m x'' + k x = 0——简谐运动，完全不用画受力图就得到了。
使作用量驻定，运动方程便出现——这里是简谐运动。
「最小作用量」是个误称：原理要求作用量驻定，delta S = 0，而非最小。真实路径仅在足够短的时间上才是极小；时间较长时它常是鞍点。