泛函（functional）

普通函数吃进一个数、吐出一个数：给它 x，它返回 f(x)。泛函则吃进一整个函数，吐出单独一个数。想象两座城镇之间所有可能的道路；给每条路赋一个值——它的长度、球沿它滚下所用的时间、或一根弯成那个形状的金属丝中储存的能量。这种赋值——每一整条曲线对应一个数——就是泛函。它是一台机器，输入不是一个点，而是一条路径。

本学科中大多数泛函都是积分。典型的一个是 J[y] = 从 a 到 b 对 L(x, y, y') dx 积分，其中被积函数 L（拉格朗日量，或称运行代价）依赖于位置 x、曲线的高度 y(x) 及其斜率 y'(x)。要计算 J，你必须先手握整条曲线 y（连同斜率），然后沿它把 L 全部累加起来。方括号 J[y] 是标准记号，提醒你它的自变量是一个函数而非一个数。从 a 到 b 对 sqrt(1 + y'^2) dx 积分的弧长，就是最简单的例子：它报告曲线 y 的长度。

泛函是变分法的核心对象，因为物理定律和工程中最优的设计几乎总是断言：某个泛函取得了尽可能小（或驻定）的值——最短时间、最小能量、最小作用量、最短路径、最小曲面面积。问哪个输入函数使泛函最小，是比普通优化大得多的搜索——未知量是一整条曲线，一个无穷维对象，而不是少数几个数。这正是这个领域需要自己一套微积分的全部原因。