变分法基本引理（fundamental lemma of the calculus of variations）
算完一阶变分后，你会得到这样一句话：某个连续函数 M(x) 乘以任意凸起 eta(x) 的积分，对每一种凸起的选择都为零。问题是这对 M 强加了什么。基本引理给出了谨慎的答案：若对每个在两端点处为零的光滑 eta，从 a 到 b 对 M(x) eta(x) dx 积分都等于零，则 M(x) 在整个区间上必恒为零。你可以把积分和 eta 都剥掉，直接令 M = 0。
看懂之后理由很直观。设 M 在某处不为零——比方说在点 x0 处为正。由连续性，它在一个小邻域上保持为正。现在巧妙地选一个凸起 eta：恰好坐落在那个邻域上的小正包，其余处为零（这样的凸起存在，且完全光滑）。于是被积函数 M eta 在那里为正、在外面为零，积分严格为正——与它对每个 eta 都为零的假设矛盾。唯一的出路是 M 本来就处处为零。窍门在于你被允许用每一种可设想的凸起来检验，这提供了大量信息。
这条引理是把 delta J = 0 转化为一个微分方程的逻辑枢纽。一阶变分给出（欧拉-拉格朗日表达式）乘 eta 的积分；引理说，既然它对所有 eta 都为零，那么欧拉-拉格朗日表达式本身就必须逐点为零。没有引理，delta J = 0 只是一个取数值的条件；有了它，你才能提取出在曲线每一点都成立的完整方程。它是泛函的积分世界与微分方程的逐点世界之间小而不可或缺的桥梁。
若你知道对每个满足 eta(0)=eta(1)=0 的光滑 eta，从 0 到 1 对 M(x) eta(x) dx 积分都为零，便可断定对 [0,1] 中所有 x 有 M(x) = 0——你不能只得出更弱的结论，比如「M 平均为零」，因为检验凸起能随意定位到任何地方。
对每个检验凸起都为零，逼得函数本身处处为零。
引理要求 M 连续（且检验凸起取遍足够丰富的一类）。若 M 只对少数几个特殊函数为零，并不能断定 M = 0——全部的威力都来自用每一个允许的凸起去检验。