度规张量（metric tensor）

几何始于你能度量之时：这支箭头多长，这两个方向夹多大角，这两个邻近点相距多远。在带笛卡尔轴的平面上，这些问题有人们熟悉的勾股答案。但在球面上、在极坐标里、或在弯曲时空中，坐标差与真实距离之间的关系不再简单——而度规张量正是把这一关系逐点存储起来的对象。

具体说，度规是一个对称的 2 阶协变张量 g_{ij}。它的核心职责是通过线元 ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j，把坐标位移变成真实的长度平方。对角元 g_{ii} 拉伸各坐标方向，非对角元 g_{ij} 记录坐标轴有多不垂直。更一般地，g 定义任意两向量的内积，u dot v = g_{ij} u^i v^j，所以它同时给出长度与角度。在平直笛卡尔空间中 g_{ij} 就是单位阵（故 ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2）；在二维极坐标中它是对角阵 [1, 0; 0, r^2]，这就是为什么一个角度步长 d(theta) 贡献的真实弧长是 r d(theta)，而不只是 d(theta)。逆矩阵 g^{ij} 在 g 非退化处存在，而 g_{ij} 与 g^{ij} 这一对就是升降指标的机器。

度规是微分几何与广义相对论中最重要的单一对象。一旦有了 g，你就能算曲线长度、面积、角度、克里斯托费尔符号、测地线，乃至曲率——一切几何都是度规的下游。在爱因斯坦理论中，时空的度规就是引力场：物质与能量告诉度规如何弯曲（爱因斯坦场方程），弯曲的度规又告诉物质如何沿测地线运动。一个值得诚实说明的微妙之处：在相对论中度规不是正定的，而是混合符号（一时三空），所以 ds^2 可正、可负、可零——区分类时、类空与类光的间隔。