升降指标（raising and lowering indices）

一旦你接受向量有两副面孔——带上指标的逆变分量 v^i 与带下指标的协变分量 v_i——你就需要一种在二者间转换的办法。升降指标就是这种转换。它有时被戏称为“指标体操”，因为实操中看似随意地把指标上滑下滑，但其底层是由度规张量执行的精确几何操作。

度规负责降指标：v_i = g_{ij} v^j，对 j 求和。逆度规负责升指标：v^i = g^{ij} v_j，其中 g^{ij} 是 g_{ij} 的矩阵逆（由 g^{ik} g_{kj} = delta^i_j 定义）。对任意张量、任意单个指标同理：与 g 缩并把指标压下去，与逆度规缩并把它顶上来，其余指标保持不动。在平直笛卡尔空间度规是单位阵，所以升降什么也不做，上下之分塌缩——这正是你在初等向量微积分里从未遇到此操作的原因。在极、球或弯曲坐标中度规非平凡，所以降一个分量是真的在重新标度它（例如，把一个角分量在降下来的路上乘以 r^2）。

这一操作是张量代数的结缔组织。它让你把像动能项 g_{ij} v^i v^j 这样的缩并紧凑地改写成 v_i v^i；把梯度（天然是余向量 partial_i phi）转成你能沿之上坡的梯度向量（g^{ij} partial_j phi）；在相对论中，它就是你在逆变四速度与其协变伙伴之间切换的方式。要守住的纪律是：把同一指标先升后降必须回到原处，且一个指标一旦在一上一下的对中被求和，就不应被随意升降。一个微妙之处：在度规不定的空间（相对论）中，降指标可能翻转符号，所以 v_0 与 v^0 可能差一个负号。