逆变与协变分量（contravariant and covariant components）

随手取一个向量，试着用数把它描述出来。你需要一个标架——一组基方向——而这些数就是向量在该标架下的分量。但读取分量有两种自然方式，在斜的或弯曲的标架中它们并不一致。一种方式用平行投影把向量投到基方向上（你要叠多少个各基箭头才能拼出该向量）；另一种读取向量投到基方向上的垂直影子。它们分别给出逆变分量与协变分量，各以上指标与下指标书写。

之所以有两种，更深的原因是它们属于两类不同（但相联）的对象。逆变分量 v^i 配普通向量——位移、速度、箭头——它们与基的变换相反：若你把尺缩小（基向量变小），描述同一箭头的数就必须变大，故称“逆”。协变分量 v_i 配余向量——梯度、等值面、那种吞入一个向量返回一个数的东西——它们与基的变换相同（“协”）。在正交归一的笛卡尔标架里两组数恰好重合，这就是初等课程从不区分它们的原因；但一旦基非正交归一或随位置而变（极坐标、球坐标、弯曲时空），它们便分道扬镳。度规张量 g_{ij} 正是二者之间的词典：v_i = g_{ij} v^j 把指标降下，其逆把指标升上。

这一区分是张量微积分的脊梁。标量的梯度天然是协变的（其分量是偏导数，随基变换），而位置位移天然是逆变的；把一上一下配对的缩并，如 v^i w_i，产生一个与坐标无关的数——一个真正的几何标量。忘了自己手上拿的是哪一种，是经典的新手错误：在平直空间里你能蒙混过关，但在弯曲空间或非笛卡尔坐标中，它会给出错误公式，因为用度规升降指标不再是什么都不做的操作。