指标记法（index notation）
当你把向量写成粗体字母 v 时，便隐藏了它的内部；指标记法通过命名分量把内部摊开。不再写 v，而写 v^i，它表示第 i 个分量，i 取遍 1, 2, ..., n。矩阵变成 A^i_j 或 A_{ij}，更高阶的对象长出更多指标。张量微积分的整套游戏，就是按几条严格规则操作这些带指标的符号；一旦把规则内化，弯曲空间的代数几乎变成机械操作。
三个观念让这套记法运转。第一，指标的位置很重要：上指标标记一个逆变槽，下指标标记一个协变槽，二者在坐标变换下变换方式相反。第二，自由指标与哑指标之分：自由指标每项出现一次且必须在方程两边对应（每一项都有相同的自由指标，且处于相同的上下位置），而哑指标作为一上一下的对出现，被爱因斯坦约定求和掉。第三，特殊符号把一切粘合：克罗内克 delta，delta^i_j（i = j 时为 1，否则为 0），用来改名或缩并指标；列维-奇维塔符号 epsilon_{ijk}，编码叉积与行列式。对任何张量方程做快速校验就是看指标平衡：左边的自由指标必须与右边的自由指标完全一致。
指标记法是相对论、流体与固体力学、以及协变形式电磁学的通用语，因为它在坐标上是显式的，含义上却与坐标无关：同一个带指标的方程，一旦约定好指标如何变换，便在每个坐标系中成立。它唯一的危险是太过紧凑，可能掩盖错误；检查每项的自由指标是否匹配、求和对是否一上一下的纪律，正是保持你诚实的东西。它与张量抽象的、无指标的观点天然配对，把后者变得具体可算。
叉积 c = a cross b 在指标记法中写作 c^i = epsilon^{ijk} a_j b_k。这里 i 是唯一的自由指标（标记 c 的三个分量），而 j 与 k 各为求和对。矩阵乘积 (A B)^i_k = A^i_j B^j_k 显示同样的格局：j 被求和（缩并掉的中间指标），i 与 k 自由并保留下来。
自由指标标记输出的分量；求和对是在做功的缩并。
指标记法让方程在分量上显式，但分量并不是几何对象本身——它们依赖坐标标架。一个陈述只有在每个标架中都以相同形式成立时才是有效的张量方程，而这正是自由指标匹配所保证的。