爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）
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物理里到处都是长得一模一样的求和：点积 u 点 v 等于 u1 v1 + u2 v2 + u3 v3，矩阵乘向量 A x 的分量是对 k 求和的 A(i,k) 乘 x(k)，而一旦进入四维与弯曲空间，这类求和便层出不穷。反复书写求和号既烦琐又把页面塞满。爱因斯坦的约定是一条简单却极其高效的记账规则，让你几乎能省去每一个求和号。
规则如下：只要某个指标在同一项中恰好出现两次——一次作上指标（上标）、一次作下指标（下标）——就自动对该指标在其整个取值范围内求和，无需写出求和号。于是 a^i b_i 就表示 a^1 b_1 + a^2 b_2 + ... + a^n b_n。这个重复的指标称为哑指标或求和指标，它的名字无关紧要：a^i b_i 与 a^k b_k 是同一个数。只出现一次的指标是自由指标，它必须在方程两边一一对应，并标明你指的是哪个分量。该约定还强制一种纪律：合法表达式中同一个指标绝不出现三次，且求和的一对应当是一上一下——这静悄悄地提醒你，正在把逆变对象与协变对象配对。
这不只是简写，它是张量微积分、广义相对论、连续介质力学与现代微分几何的工作语言。正因为规则把上指标与下指标配成对，它产生的求和恰恰是那些具有几何意义、与坐标无关的组合（缩并），这就是为什么爱因斯坦记号让正确的方程容易写出、让许多错误的方程根本无法写出。唯一要守住的纪律是对上下保持诚实：在平直笛卡尔坐标中人们偷懒，把一切都写在下方，但在弯曲空间或非正交坐标中，上下之分是真实的，必须尊重。
在度规为 g 的空间中，向量长度的平方写作 ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j。i 和 j 都重复出现（各自一次出现在 dx 的上方、一次在 g 的下方），所以这个简短表达式暗中表示对 i 与 j 的双重求和，即对所有坐标对取 g_{ij} dx^i dx^j 之和——在三维中这是九项被压缩进四个符号。
两对重复指标，两个隐藏的求和——约定把九项变成四个符号。
若某个重复指标本不打算求和，必须显式标注（人们会写“i 不求和”）；而某指标在同一项中正当地出现三次，则是你算错了的信号，而非某种新的求和。