张量（tensor）
标量是一个不在乎你把坐标轴指向何方的数——温度、质量、电荷。向量是一支在你选坐标轴之前就存在的箭头；选定一个标架，它便向你展示分量。张量是这一观念的自然延续：一个独立于坐标而存在的几何对象，可一旦选定标架，它便以一组带若干指标的分量阵列示人。标量是 0 阶张量，向量与余向量是 1 阶，度规与应力张量是 2 阶，依此类推。
确切地说，(p, q) 型张量是一台多线性机器：它有 p 个上槽与 q 个下槽，吃入 q 个向量与 p 个余向量，返回一个数，并对每个输入都线性。它的分量带 p 个上指标与 q 个下指标，如 T^{ij}_k。其定义性质不是那组数本身，而是当你切换坐标时这组数如何变化：每个上指标按新对旧映射的雅可比变换，每个下指标按逆雅可比变换（张量变换律）。这条规则就是张量身份的检验标准。同一对象在不同标架下的分量是不同的阵列，但它们都编码同一个与标架无关的东西；任何写成“张量 = 张量”且指标结构匹配的方程，自动在所有标架中同时成立。
每当一个物理量具有超出单一箭头的方向结构时，张量便是恰当的语言：梁中的应力（单位面积上的力依赖两个方向——面与力）、变形固体中的应变、刚体的转动惯量、电磁场，尤其是广义相对论中时空的度规与曲率。它全部的魅力在于：把物理写成张量方程，保证物理定律在每个坐标系中看起来都一样——广义协变原理。常见的新手陷阱：一串带指标的数并不自动就是张量；例如克里斯托费尔符号带有指标，却不按张量方式变换，所以它不是张量。
固体中的应力张量 sigma^{ij} 是 2 阶：sigma^{ij} 是作用在外法向指向第 j 方向的那个面上、单位面积力的第 i 个分量。把任一曲面的单位法向 n_j 喂给它，它便返回牵引向量 t^i = sigma^{ij} n_j——对每个朝向、由同一个对象给出的、该面上真实的单位面积力。
2 阶张量是一台把方向变成向量的机器——这里把曲面法向变成其牵引力。
带有指标并不使某物成为张量；变换律才决定。联络系数（克里斯托费尔符号）带有指标，但在坐标变换下多出一个非齐次项，所以它们断然不是张量。