多项式及其运算
综合除法
综合除法是长除法在一种特殊情形下的精简捷径,专用于把多项式除以形如 (x - c) 的简单一次因式。它丢掉了 x,只对系数运算,于是整个计算能压缩在短短两三行里。
做法是:把被除式的系数按降幂写下(缺项用 0 补位),把 c 写在角上,落下第一个系数,然后反复地“乘以 c 再与下一列相加”。逐步得到的数就是商的系数,最后一个数则是余数。
要记住两个限制。其一,它只适用于形如 (x - c) 的除式 — 遇到二次或更高次的除式,就必须退回完整的长除法。其二,注意符号:除以 (x - 3) 时取 c = 3,但除以 (x + 3) 相当于 x - (-3),所以取 c = -3。
用 (x - 2) 除 x^2 - 5x + 6:落下 1,1×2=2 故 -5+2=-3,-3×2=-6 故 6+(-6)=0。商为 x - 3,余数 0。
只用系数 — 速度快,但只限于 (x - c) 形式的除式。
最后那个数(余数)还等于把多项式在 c 处求值的结果 — 这就是余数定理。因此余数为 0 意味着 c 是一个根,(x - c) 是一个因式。
另见