因式分解

因式分解是乘法展开的逆运算。做乘法时,你从几块拼图出发,把它们合并成一个展开的表达式;做因式分解时,你从展开的表达式出发,把它拆回那些相乘的拼图——也就是因式。这就像把数字 12 写成 3 乘以 4,只不过现在相乘的对象是多项式。

具体来说,对多项式做因式分解,就是把它写成两个或更多个次数更低的多项式之积(或一个数乘以这样的多项式)。例如 x^2 + 5x + 6 可分解为 (x + 2)(x + 3),因为把这两个二项式乘回去就能还原成原式。你做的每一步因式分解都能立即检验:把乘积展开,看是否得回原来的表达式。

因式分解之所以重要,是因为乘积比和式更容易分析。一旦能把表达式写成乘积,你就能找出它何时等于零(每个因式给出一个根)、约掉分式中的公因式,并揭示隐藏的结构。诚实的提醒是:并非每个多项式都能在你被允许使用的数系内漂亮地分解,而且找因式往往是一种试探,而非套公式。