生存函数、密度与死亡力的关系

生存模型是同一枚硬币的三个面：生存函数 S(x)（活过 x 岁的概率）、密度 f(x)（死亡的可能性如何分布于各年龄）、以及死亡力 mu-x（x 岁时的瞬时危险）。它们看似不同，却描述着关于寿命的完全相同的信息，任何一个都能换算成另外两个。掌握这些关系，意味着你永远不必从头来过——你只需翻译。

三条朴素的纽带把它们连在一起。第一，密度是生存被侵蚀的速度：f(x) = -S'(x)，即生存曲线斜率的相反数。第二，死亡力是密度相对于仍处于风险中的幸存者之比：mu-x = f(x) / S(x)——单位时间的死亡，除以仍然活着的人群。第三，把死亡力累积起来就还原出生存：S(x) = exp(- mu 在 0 到 x 上的积分)。合起来便有 f(x) = S(x) 乘 mu-x：恰好在 x 岁死亡的概率，等于活到 x 岁的概率乘上在那里死亡的强度。

这些换算是生存分析每天使用的语法。一项医学研究可能直接从数据估出风险率，再需要生存曲线来报告五年生存率；精算师则可能从一张列表的生存函数出发，反推出死亡力，以比较两条死亡律。正因三者可互换，你可以挑最易建模或估计的那一个，再换算成问题所需的形式。