概率质量函数与概率密度函数

一旦你有了随机变量，就需要一种方式来说明概率是如何分布在它各个可能取值上的。对于离散变量，这就是概率质量函数（PMF）：它直接给出每一个取值的概率，例如“P(X = 0) = 0.9，P(X = 1) = 0.09，…”。对于连续变量，则是概率密度函数（PDF），一条平滑曲线，其高度显示取值聚集在何处，而提供概率的是面积——不是高度。

概率质量函数常写作 p(x) 或 f(x)，它为每个取值给出一个诚实的概率，所有这些概率相加为 1。概率密度函数写作 f(x)，则更微妙：它在某一点的取值不是概率，而是密度（每单位 x 的概率）。要得到真正的概率，你要取曲线在两点之间所围的面积，而整条曲线下方的总面积为 1。密度在某些地方可以超过 1——这没关系，因为它是一个速率，而非概率；只有它累积出的面积上限才被锁定为 1。曲线在何处高耸，取值就更可能落在附近。

这两个函数是精算师所用每一种分布的工作描述。钟形的正态分布密度、对数正态严重度密度长长的右尾、泊松理赔次数尖刺状的质量函数——每一个都是风险集中在何处的画像。读懂密度曲线的形状，你一眼就能看出损失是紧密聚集还是容易出现罕见的巨灾，而这恰恰是定价与资本决策所仰仗的信息。