离散分布与连续分布

有些量是一块一块、可以数清的；另一些量则可以在一条平滑的标尺上取任意值。今年的理赔次数是 0、1、2 或 3——绝不会是 2.7。但一笔理赔的金额可以是 2719.43 元，或介于其间的任何数额。前一种随机变量称为离散型，后一种称为连续型。你属于哪一类型，决定了如何描述它的概率。

离散型随机变量有一份（可能无限长的）彼此分开的可能取值清单，我们给每一个值都贴上一个真正的概率——即该值上的“概率质量”。连续型随机变量可以在一个范围内取任意值，这里会发生一件奇怪的事：任何单一确切取值的概率都是零，因为可能的值有无穷多个。我们改用一条密度曲线来描述连续变量，而概率就是该曲线在某区间上方所围的面积。所以对离散变量我们把概率相加，对连续变量我们做积分（求面积）。

精算师不断地与两者打交道，而且常常同时打交道。理赔频率（发生几次）天然是离散的——泊松、二项、负二项。理赔严重度（金额多大）天然是连续的——对数正态、伽玛、帕累托。总损失把一个离散的次数和连续的金额结合起来，这正是为什么总损失模型要把两者拼接在一起。选错类型——把计数当成连续，或把平滑的损失硬塞进几个区间——会悄无声息地扭曲结果。