平方和的分布（卡方）（distribution of a sum of squares）

平方很重要，因為統計中有那麼多是在量測距離，而距離由平方構成。估計的平方誤差、對均值的平方偏差、一個向量的平方長度 —— 全都是平方和。當被平方的那些片段是獨立的標準常態變數時，所得的平方和具有一個著名的分布：卡方分配。

把它建起來。先從一個標準常態 Z 開始；Z^2 的分布用 cdf 方法求出（平方把數線對折，所以 P(Z^2 at most y) = P(-sqrt(y) at most Z at most sqrt(y))），答案是自由度為 1 的卡方分配。現在獨立地加上 k 個這種：若 Z_1, ..., Z_k 是獨立標準常態，則 Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_k^2 服從自由度為 k 的卡方分配。自由度就是數有多少個獨立的平方常態加了進來。因為它是獨立片段之和，卡方分配可相加：自由度 m 的卡方加上獨立的自由度 n 的卡方，得自由度 m + n 的卡方。

這就是為何卡方在推論中無處不在。樣本變異數是對均值平方偏差的平均，（經縮放後）服從卡方；配適度檢定透過標準化差距的平方和來比較觀測與期望次數；t 與 F 分布由卡方的部件構成。誠實的細節：這個精確結果要求被平方的項是獨立且標準常態的 —— 對其他分布，平方和並非卡方。