隨機變數的函數與變換
累積分布函數法（cdf method）
當你需要 Y = g(X) 的分布時，cdf 方法是安全、永遠適用的主力工具。它從不要求 g 是一對一、光滑或可逆的。它只是用累積分布函數把關於 Y 的問題翻譯成關於 X 的問題，最後若 Y 連續，再微分得到密度。
做法分三步。第一，把 Y 的 cdf 寫成關於 Y 的事件：F_Y(y) = P(Y 不超過 y)。第二，把 Y 換成 g(X)，並解 g(X) 不超過 y 對 X 的條件 —— 找出使其成立的那組 x 值 —— 再從 X 的 cdf 讀出該機率。第三，若你要連續 Y 的密度，就微分：f_Y(y) = d/dy F_Y(y)。整個方法就是：把事件拉回 X、用已知的東西求值、再微分。
因為它對任何 g 都成立，當 Jacobian 公式不適用時 cdf 方法就是該拿的工具：當 g 非單調（如 g(x) = x^2，會把數線對折）、當 g 在某些段上是平的、或當答案是混合分布時。Jacobian 公式其實只是對光滑單調 g 把 cdf 方法一般性地走過一次；拿不準時，就退回 cdf 方法。
設 X 為標準常態，Y = X^2。因為 g 非一對一，用 cdf 方法：對 y > 0，F_Y(y) = P(X^2 不超過 y) = P(-sqrt(y) 至 sqrt(y) 之間) = Phi(sqrt(y)) - Phi(-sqrt(y))。微分後得到自由度為 1 的卡方密度。x 與 -x 的對折由這個雙側區間自動處理。
像平方這種非單調的 g 能乾淨處理，因為兩個分支都落在同一個區間內。
對遞減的 g 要留意不等號方向：若 g 遞減，g(X) 不超過 y 表示 X 至少 g^{-1}(y)，不等號會反向。在這裡出錯是此方法最常見的失誤。
又称
另见