從累積分布函數還原 pmf 或 pdf（recovering the pmf or pdf from the cdf）
cdf 累積機率；pmf 與 pdf 描述機率如何散布。既然這是同一件事的兩種觀點，你可以雙向往返。往前走，你用堆積質量或面積來建構 cdf。往回走，你再把 cdf 拆開，讀出局部的描述。這趟來回是處理分布最有用的技能之一，因為題目常常給你一種形式，而你想要的是另一種。
對離散變數，cdf 是一道階梯，每個跳躍對應一個帶有機率的值。所以 pmf 就是跳躍的大小：p(x) = F(x) - F(x-)，其中 F(x-) 是緊鄰左方的值（從下方逼近 x 的極限）。用白話說，恰好坐落在 x 的機率，就是 cdf 在那裡往上躍升的幅度。在跳躍之間 cdf 是平的，代表那裡沒有機率。所以你藉由量測每一階的高度來讀懂階梯。
對連續變數，cdf 是平滑的，它攀升的速率正是密度。所以 pdf 是 cdf 的導數：f(x) = F'(x)，在導數存在之處。這很合理，因為 F(x) = 從 -infinity 到 x 對 f(t) dt 積分，而由微積分基本定理，對累積的面積求導會還原被積函數。誠實的提醒：在 cdf 的轉折或跳躍處導數可能不存在，而混合分布需要同時用上兩種動作，對它的塊用跳躍、對它的平滑部分用導數。
若 F(x) = 1 - e^(-x)（x >= 0，之前為 0），求導即還原密度 f(x) = e^(-x)，也就是指數 pdf。若 F 在 x = 5 處從 0.3 跳到 0.7，則 p(5) = 0.7 - 0.3 = 0.4 恰好坐落在值 5 上。
對平滑的 cdf 求導得到 pdf；量測階梯 cdf 的跳躍得到 pmf。
連續的 cdf 沒有跳躍，所以處處 P(X = x) = 0；純階梯的 cdf 在跳躍之間沒有斜率，所以沒有密度。混合分布正是那些 cdf 同時跳躍又攀升的分布。