累積分布函數（cumulative distribution function, cdf）

累積分布函數問一個不斷推進的問題：X 至多為 x 的機率是多少？它把機率從最左邊一路累積到一個移動的門檻。如果你站在值 x 處，回望它以下的一切，cdf 告訴你到目前為止總共堆積了多少機率。當 x 從最左掃到最右，cdf 從 0（還沒算到任何東西）攀升到 1（一切都算進去了）。

嚴格地說，F(x) = P(X <= x)。對離散變數，它是一道階梯：在值與值之間是平的，並在變數能取到的每個值處恰好往上跳 p(x)，跳的高度就是那個值的質量。對連續變數，它是一條平滑的攀升，即密度下不斷累積的面積：F(x) = 從 -infinity 到 x 對 f(t) dt 積分。無論哪一種，區間的機率都免費得到：P(a < X <= b) = F(b) - F(a)，所以你只要把兩個 cdf 值相減，就能回答幾乎任何關於 X 的問題。

cdf 之所以強大，是因為它用一個統一的定義對每一種隨機變數都成立，不論離散、連續或混合，而 pmf 只適用於離散、pdf 只適用於連續。正是這種普遍性，使理論常用 cdf 來表述一切。要注意不等號的方向：F(x) 用 <=（至多 x）定義，這使它右連續；有些書改用 <，會把跳躍位置挪動，是常見的差一混淆來源。