隨機變數的函數與變換
隨機變數函數的分布（distribution of a function of a random variable）
你量了一個隨機的量，然後對它做點什麼：把長度平方得到面積、對收入取對數、把好幾個測量值加起來。結果本身也是隨機的，而你想知道它的分布 —— 不只是平均，而是它如何散開的整幅圖景。這就是變換的基本問題：若 X 是隨機的、Y = g(X) 由 X 算出，那麼 Y 的分布是什麼？
關鍵想法是：Y 的所有隨機性都來自 X。Y 不會自己擲骰子；它只是對 X 的每個結果套上 g 重新貼標籤。所以要算關於 Y 的機率，就把它翻譯回關於 X 的陳述。要算 P(Y 不超過某值 y)，就問哪些 x 值使 g(x) 不超過 y，再用 X 的分布算出這些 x 值有多大可能。從幾何上看，你是把關於 Y 的事件沿著 g 拉回到原來那條已知機率的軸上。
這一個技巧 —— 把關於新變數的事件改寫成關於舊變數的事件 —— 是這份清單上每一種變換方法的根基。cdf 方法直接這麼做。Jacobian 公式把它包裝成適用於光滑一對一 g 的乾淨密度規則。卷積處理 g(X, Y) = X + Y。它們都是同一個想法的不同特例。
設 X 在 (0, 1) 上均勻分布，Y = X^2。要算 P(Y 不超過 1/4)，注意 Y 不超過 1/4 即 X^2 不超過 1/4，也就是 X 不超過 1/2（因為 X 為正）。所以 P(Y 不超過 1/4) = P(X 不超過 1/2) = 1/2。平方把機率往 Y 較小的一端堆。
把關於 Y 的事件翻譯回關於 X 的事件 —— 你在那裡已知機率。
你不能只是代入密度：f_Y(y) 「不是」 f_X(g^{-1}(y))。g 的拉伸或壓縮改變了機率的堆疊方式，所以需要一個 Jacobian（導數）因子。漏掉它是典型的錯誤。
又称
另见