用卷積求和的分布（distribution of a sum by convolution）

把兩個獨立的隨機量加起來 —— 兩顆骰子、兩段等待時間、兩個測量誤差 —— 你會得到一個新的隨機總和。它的分布很少只是兩者的平均；散布會以特定方式改變形狀。卷積就是給出兩個獨立變數之和 S = X + Y 分布的運算。

想法是把總和落在某個值的所有方式都算進來。要讓總和等於 s，不論 X 變成什麼，Y 都必須剛好是 s - X。所以你讓 X 掃過它所有的值，每一個都用 Y 填補空缺的機會加權，再相加。對獨立的離散變數，p_S(s) = 對所有 k 加總 p_X(k) 乘以 p_Y(s - k)。對獨立的連續變數，加總變成積分：f_S(s) = 對所有 x 積分 f_X(x) 乘以 f_Y(s - x) dx。這種「滑動、相乘、相加」的運算，正是數學家所說的卷積。

卷積解釋了為何和會變平滑並往中間聚攏：極端的總和需要兩部分同時極端，這不太可能，所以中間被填滿。把許多獨立片段相加，這種平滑化便驅動出中央極限定理的鐘形。注意：這裡的公式要求獨立；對相依的變數，你必須改用完整的聯合分布。