卡方分配（chi-squared distribution）

若你取數個獨立的標準常態數，各自平方後相加，會得到什麼？不再是常態分配——平方迫使一切為正，並拉長了大值。結果就是卡方分配，它是檢定變異數與適合度的主力工具。

記作 X ~ 自由度為 k 的卡方分配，意指 X = Z_1^2 + Z_2^2 + ... + Z_k^2，其中每個 Z_i 都是獨立的標準常態。它是伽瑪的特例：chi-squared(k) 等於 Gamma(形狀 = k/2, 尺度 = 2)。其平均為 E[X] = k，變異數為 Var(X) = 2k，所以中心與散布都由單一的「自由度」k 決定。形狀右偏且只存在於正半軸；當 k 增大，偏態淡去，曲線逐漸趨向常態形狀。

凡是量測平方偏差之處都會出現卡方：常態資料的樣本變異數縮放後成為卡方，卡方適合度檢定與獨立性檢定透過「平方差之和」比較觀測與期望次數，它也是 t 分配與 F 分配的組成部分。「自由度」一詞是獨立平方項的個數——每從資料估計一個參數，這個數就減一，這正是正確使用它時最微妙的記帳關鍵。