立方和

与平方和不同,两个立方之和在实数范围内总能分解,而且它有自己固定的、值得背下来的公式。每当你看到一个完全立方加上另一个完全立方,即 a^3 + b^3,它就拆成一个二项式乘以一个三项式:a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。

这个结构靠一段口诀很好记。二项式是两立方根之和,(a + b)。三项式由这两根搭成:第一个平方,减它们的积,加第二个平方。一个好用的记忆法是「SOAP」:与原式同号(这里是 +),再相反号,再永远为正——得到 (a + b)(a^2 - ab + b^2)。

两点提醒。其一,三项式 a^2 - ab + b^2 在实数范围内一般不能再分解,所以别白费力气。其二,套公式前要确认两项确实都是完全立方(如 8 = 2^3 或 27x^3 = (3x)^3),否则公式不适用。