史特靈漸近公式
/ STUR-ling /
100! 有多大？用手乘出來是無望的，而即使知道它大約是 9.3 * 10^157，從定義也看不出來。史特靈公式就是答案：對大的輻角，階乘（以及伽瑪函數）能被初等函數驚人地精確捕捉。在它的階乘形式中，n! 約等於 sqrt(2 pi n) * (n/e)^n。兩個成分是：一個提供爆炸性增長的冪 (n/e)^n，與一個修正大小的溫和修正項 sqrt(2 pi n)。
正確的陳述是針對伽瑪函數的、而且是漸近的：當 |z| -> infinity 在任何避開負實軸的扇形中，Gamma(z) 漸近於 sqrt(2 pi) z^(z - 1/2) e^(-z)，更精確地 log Gamma(z) = (z - 1/2) log z - z + (1/2) log(2 pi) + 1/(12 z) - ...。「漸近」一詞是精確且重要的：兩邊之比趨於 1，儘管差不必趨於 0，而 1/z 的級數其實發散，但每一截斷都是貨真價實的近似。其複解析證明是把鞍點法（最速下降法）施於歐拉積分的勝利：被積函數 t^(z-1) e^(-t) 在 t = z 附近尖銳地達到峰值，環繞該峰的高斯近似產生每一項。
凡是量以階乘速度增長之處，史特靈公式無所不在。它支撐中央極限定理的鐘形曲線（經由二項式係數中的 n!）、統計力學中的熵公式、演算法分析，以及ζ函數在其函數方程中的漸近行為。誠實的提醒：它是對大 |z| 極佳、對小 z 無用的近似（它對 3! 說不出你會信賴的話），而且完整級數並不收斂——加越來越多項最終會讓結果「更糟」，所以要在最小項處停下。它是漸近展開（相對於收斂展開）的原型。
估計 10!。史特靈公式給出 sqrt(2 pi * 10) * (10/e)^10 = sqrt(20 pi) * (10/e)^10，約為 3,598,696。精確值是 10! = 3,628,800。即使在 n = 10 時相對誤差也不到 1%，且隨 n 增大而縮小；下一個修正因子 (1 + 1/120) 補上了剩餘差距的大半。
在 n = 10 時就已精確到 1% 以內；公式是漸近的，故其精確度隨輻角增大而提升。
史特靈以 1/z 冪次表示的級數是漸近的、而非收斂的——對任何固定的 z，把它所有項加起來都發散。你應在最小項處停下以得到最佳近似，而非加更多項。