拉普拉斯方法（Laplace's method）
/ lah-PLAHSS /
拉普拉斯方法是最速下降法的實變數祖先，也是整個漸近家族中最簡單的成員。設想一個積分 I(s) = （在某實區間上對 e^(s h(t)) dt 的積分），s 很大、h 為實值光滑函數。因子 e^(s h(t)) 在 h(t) 達到最大值之處壓倒性地最大；提高 s，那個峰就變成針一般細的尖刺。所以到主導階，積分只在乎使 h 最大那一點 t_0 的一個小鄰域。
設 h 在 t_0 處有單一內部最大值，故 h'(t_0) = 0 且 h''(t_0) < 0。在 t_0 附近有 h(t) 約等於 h(t_0) + (1/2) h''(t_0)(t - t_0)^2，一條向下開口的拋物線，所以 e^(s h(t)) 約等於 e^(s h(t_0)) 乘一個寬度約為 (s |h''(t_0)|) 的平方根分之一的高斯隆起。對那高斯積分便得經典結果：當 s -> 無窮時 I(s) 約等於 e^(s h(t_0)) 乘 (2 pi / (s |h''(t_0)|)) 的平方根。一句話：其值是峰的高度乘峰的寬度，而寬度像 s 的平方根分之一那樣縮小。
凡是統計學家與物理學家著眼之處，拉普拉斯方法無所不在。它是貝氏統計中對後驗分布之拉普拉斯近似的基礎、是統計力學中大偏差與配分函數估計的基礎、也是史特靈公式推導的基礎。它與最速下降法的差別只在場景：拉普拉斯方法在實數線上、用實的最大值；最速下降法把同一想法抬進複平面，使它能藉由把圍道形變過鞍點來處理振盪或複指數。同樣的誠實適用——它給出的是漸近估計，由沃森引理銳化到所有階，而非精確值。
對史特靈公式，把 n! = （從 0 到無窮對 t^n e^(-t) dt 的積分）= （對 e^(n log t - t) dt 的積分）。令 t = n s，指數成為 n(log s - s)，其對 s 的最大值在 s = 1 處、二階導數為 -1。拉普拉斯方法給出 n! 約等於 e^(-n) n^(n+1) 乘 (2 pi / n) 的平方根，即 n! 約等於（2 pi n 的平方根）(n/e)^n。
位於 t_0 = n 的銳利實峰掌控了階乘積分。
若最大值位於區間的端點而非內部，峰只是半個高斯，故公式多一個 1/2 因子；而 h''(t_0) = 0 的退化最大值則需要 s 的不同冪次。