最速下降法（method of steepest descent）
假設你必須估計形如（沿圍道 C 對 e^(N g(z)) dz 的積分）的積分，其中 N 很大。被積函數 e^(N g(z)) 極度不對稱：在 g 的實部最大的地方被積函數巨大無比，而在別處則相對微不足道。所以積分幾乎全部的值都來自 g 之實部達到峰值那一點的一個小鄰域。最速下降法是一套有紀律的辦法，用來找出那個峰，並從峰周圍隆起的形狀讀出積分的大小。
由於 g 是解析的，你可以自由地形變圍道 C（柯西定理）而不改變積分值。訣竅是把 C 滑動到通過一個鞍點 z_0——即 g'(z_0) = 0 的點——並讓它沿著 g 的實部在兩側下降最快的方向行走。在這條最速下降路徑上，g 的虛部保持不變，因此沒有振盪來破壞估計：e^(N g(z)) 只是在 z_0 處升起一個單峰再衰減。在 z_0 附近你把 g(z) 近似展開為 g(z_0) + (1/2) g''(z_0) (z - z_0)^2，一個高斯隆起，然後對它積分。主項結果是（積分）約等於 e^(N g(z_0)) 乘以 (2 pi / (N 乘 |g''(z_0)|)) 的平方根，再帶一個由下降路徑方向決定的相位因子。
這是複分析最重大的回報之一，與留數計算確實不同：留數捕捉極點，而最速下降法捕捉光滑積分在大 N 下的增長。它給出特殊函數與物理量的主導漸近——階乘的史特靈公式、貝塞爾與艾里函數在大宗量下的行為、統計力學中的鞍點近似與量子力學中的 WKB 近似。一個誠實的告誡：它給出的是當 N -> 無窮時成立的漸近展開，而非精確答案，若要嚴格就必須追蹤誤差項。
要導出史特靈公式，把 n! = （從 0 到無窮對 t^n e^(-t) dt 的積分）並代入 t = n s，得 n! = n^(n+1)（對 e^(n (log s - s)) ds 的積分）。此處 g(s) = log s - s 在 s = 1 處有 g'(s) = 1/s - 1 = 0，這就是鞍點，且 g''(1) = -1。最速下降法給出 n! 約等於 e^(n(log 1 - 1)) 乘 n^(n+1) 乘 (2 pi / n) 的平方根，整理後成為 n! 約等於（2 pi n 的平方根）乘 (n/e)^n。
史特靈公式直接從 s = 1 的鞍點落出。
本方法要求你確實把圍道形變到最速下降路徑上；若原圍道無法在不跨越奇點的情況下移過去，你必須把途中跨過的極點（它們的留數）一併計入。