鞍點法（saddle point method）
鞍點法與最速下降法是同一個想法，它以那個完成全部工作的幾何特徵來命名。設想 g(z) 的實部在複平面上所描出的曲面：那是一片丘陵與山谷的地景。解析函數絕不能有普通的山峰或坑底——最大模原理禁止它——所以那地景唯一的臨界點是鞍點，形狀像山口的地方，往兩個方向上升、往另兩個方向下降。積分 e^(N g(z)) 由這樣一個山口處的情況所主導。
具體地說，鞍點是 g'(z_0) = 0 的點 z_0。穿過它有兩個特殊方向：g 的實部沿其增加的山脊，以及實部沿其減少的山谷——即最速下降方向。本方法把積分圍道形變到沿山谷穿過鞍點、與山脊垂直，使被積函數在該處有乾淨的單一最大值。把 g(z) 近似展開為 g(z_0) + (1/2) g''(z_0)(z - z_0)^2 便把局部積分化成高斯型，主項是 e^(N g(z_0)) 乘 (2 pi / (N |g''(z_0)|)) 的平方根，路徑的取向決定相位。當有數個鞍點時，你取使 g(z_0) 之實部最大者；若不止一個有貢獻，則把它們相加。
「鞍點法」與「最速下降法」這兩個名稱可互換使用；有些作者把「駐相法」保留給純振盪的近親，即鞍點落在 g 為純虛的圍道上的情形。誠實的要點是：整套技術立足於複分析的兩根支柱——柯西定理讓你隨意搬動圍道，而 g 的解析性保證地景只有鞍點、絕無山峰，所以單一主導山口確實掌控了答案。
對大階數的貝塞爾函數 J_n(x)，可寫出一個積分表示，其指數有一個導數為零的鞍點；把圍道滑過該鞍點便得到函數主導的指數增長或衰減。同一套機制應用到（對 e^(N(log s - s)) ds 的積分），則由 s = 1 的單一鞍點重現史特靈公式。
一個山口式的鞍點，沿其山谷穿過，掌控了該積分。
退化鞍點，即 g''(z_0) 也為零的情形，會使簡單的平方根公式失效；此時你需展開到下一階（鞍點的合併正是產生艾里函數的緣由）。