伽瑪函數（Γ函數，gamma function）
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階乘 n! = 1 * 2 * 3 * ... * n 是數學中最親切的東西之一，但它只認識整數。直接去問 (1/2)! 或 pi! 是沒有意義的。伽瑪函數，寫作 Gamma(z)，正是回應一個自然渴望的答案：是否存在一個光滑、單一的函數，對（幾乎）每個複數 z 都有定義，且在整數處與階乘吻合？答案是肯定的，而且本質上唯一。Gamma 就是階乘的連續、複解析的推廣——是「長大成人」、能在整個複平面上取值的階乘。
它與階乘的關聯只差一個小小的平移：對每個正整數 n，Gamma(n) = (n-1)!。所以 Gamma(1) = 0! = 1，Gamma(2) = 1! = 1，Gamma(3) = 2! = 2，Gamma(4) = 3! = 6，依此類推。（這個差一的平移是歐拉積分的歷史遺產。）在 Re z > 0 上的定義圖像是歐拉積分 Gamma(z) = integral from 0 to infinity of t^(z-1) e^(-t) dt，由此再延拓到整個複平面。結果是處處全純的函數，唯一的例外是在 z = 0, -1, -2, -3, ...（非正整數）處的單極點；其餘各處它都是完美光滑的解析函數。
Gamma 之所以重要，是因為它是繼初等函數之後最無所不在的特殊函數。它貫穿貝塔函數、高維球的體積、機率分布的歸一化（伽瑪分布、卡方分布、t 分布都帶著它的名字或它的值）、黎曼ζ函數的函數方程，以及無數的積分計算。一個常見的意外：儘管 Gamma 推廣了階乘，它並非「唯一可能的推廣方式」，除非你還要求對數凸性（Bohr-Mollerup 定理）——其實還有別的光滑內插，但 Gamma 是那個解析且行為良好的，所以它才是對的那個。
最常被引用的單一特殊值是 Gamma(1/2) = sqrt(pi)。它來自歐拉積分：Gamma(1/2) = integral from 0 to infinity of t^(-1/2) e^(-t) dt，代換 t = u^2 把它變成 2 * integral from 0 to infinity of e^(-u^2) du = sqrt(pi)，即著名的高斯積分。由此並配合函數方程，Gamma(3/2) = (1/2) Gamma(1/2) = sqrt(pi)/2，而 Gamma(5/2) = (3/2)(1/2) sqrt(pi) = 3 sqrt(pi)/4。
Gamma(1/2) = sqrt(pi) 就是半整數的階乘；這正是 sqrt(pi) 出現在奇數維球體積中的原因。
Gamma 在複平面上處處不為零——它有極點卻沒有零點。因此 1/Gamma(z) 是一個整函數（處處全純），其零點恰好落在非正整數處；這個倒數常常是更乾淨、更好處理的對象。