貝塔函數（beta function）
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貝塔函數 B(x, y) 是伽瑪函數天生的搭檔。它的定義是在單位區間上的一個積分：B(x, y) = integral from 0 to 1 of t^(x-1) (1 - t)^(y-1) dt，當 Re x > 0 且 Re y > 0 時有效。想像 [0, 1] 上一個類似機率的密度，當 x 小時偏向 0、當 y 小時偏向 1；貝塔函數就是該權重之下的總質量。它是對稱的，B(x, y) = B(y, x)，由代換 t -> 1 - t 即可看出。
使貝塔函數如此有用的單一事實，是它與伽瑪的恆等式：B(x, y) = Gamma(x) Gamma(y) / Gamma(x + y)。這把一個雙參數積分轉換成伽瑪值之比，而後者我們已完全理解。最乾淨的證明，是把 Gamma(x) Gamma(y) 寫成第一象限上的二重積分，換到類極座標 t = r cos^2 與 (1 - t)，看著徑向部分分離出 Gamma(x + y)，而角向部分恰好是貝塔積分。所以貝塔函數不是一個獨立的謎——它是偽裝的伽瑪值，這也是為何它被稱為歐拉「第一類」積分、相對於伽瑪的「第二類」。
由於許多積分都能被揉成貝塔形式，這個恆等式是計算無初等反導數之定積分的主力工具——正弦與餘弦冪次的積分、x^a (1-x)^b 的積分，以及許多其他積分。它也命名了貝塔機率分布，那是貝氏統計的核心，其歸一化常數正是 1/B(x, y)。一個提醒：積分形式僅在 Re x > 0 且 Re y > 0 上收斂，但伽瑪比值公式 B(x, y) = Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x+y) 在伽瑪有定義之處，把貝塔函數亞純地延拓到該區域之外。
計算 integral from 0 to 1 of t^2 (1 - t)^3 dt。這是 B(3, 4) = Gamma(3) Gamma(4) / Gamma(7) = (2!)(3!)/6! = (2)(6)/720 = 12/720 = 1/60。展開 (1-t)^3 直接做積分也得 1/60，但貝塔-伽瑪恆等式根本不必展開就讀出了答案。
B(x, y) = Gamma(x)Gamma(y)/Gamma(x+y) 把一個雜亂的冪次積分變成一行階乘之比。
貝塔函數不是一個新的超越對象——它完全由伽瑪決定。若你能求出相關的伽瑪值，就能求出貝塔值；那個積分只是一種方便的包裝。