伽瑪函數的倍量公式
倍量公式把 2z 處的伽瑪值與 z 及 z + 1/2 兩處的伽瑪值關聯起來：Gamma(z) Gamma(z + 1/2) = 2^(1 - 2z) sqrt(pi) Gamma(2z)。這是勒讓德的恆等式，是「偶數的階乘如何與半整數乘積關聯」這件事在伽瑪函數上的影子。函數方程把輻角步進 1，而倍量公式則把它「對半切」——它告訴你，當你把一個加倍的輸入拆成兩個錯開的半份時，Gamma 會如何表現。
把它看成乘積的記帳。把直到 2n 的整數分成偶數與奇數：偶數給出 2 * 4 * ... = 2^n n!，奇數給出雙階乘。Gamma 把兩種乘積都打包進去，而倍量公式正是當你要求 Gamma(2z) 一邊與 Gamma(z)、Gamma(z + 1/2) 一對另一邊彼此相容時所掉出來的東西。一個乾淨的看法是經由魏爾斯特拉斯乘積或貝塔積分；兩條路都產生使兩邊吻合的常數 2^(1-2z) sqrt(pi)，而那個 sqrt(pi) 再一次是 Gamma(1/2) 的指紋。
公式可以推廣。高斯的乘法公式以同樣的招數把 Gamma(nz) 拆成 n 個錯開的伽瑪值 Gamma(z) Gamma(z + 1/n) ... Gamma(z + (n-1)/n)，倍量公式即 n = 2 的情形。每當計算產生半整數或有理數平移的伽瑪值、而你想把它們塌縮起來時，這些恆等式都不可或缺——它們在超幾何計算、球的體積、以及整理貝塔函數答案時不斷出現。一個提醒：右邊的常數真的是 2^(1-2z) sqrt(pi)，而非某個「漂亮」的整數；把那個 2 的冪次弄對，正是這個公式的全部內容。
在倍量公式中取 z = 1/2。左邊是 Gamma(1/2) Gamma(1) = sqrt(pi) * 1 = sqrt(pi)。右邊是 2^(1 - 1) sqrt(pi) Gamma(1) = 2^0 sqrt(pi) * 1 = sqrt(pi)。兩邊都等於 sqrt(pi)，是一個乾淨的相容性檢驗；推到 z = 1 則還原出 Gamma(1) Gamma(3/2) = 2^(-1) sqrt(pi) Gamma(2)，即 sqrt(pi)/2 = sqrt(pi)/2。
倍量公式把輻角對半切；高斯乘法公式把它推廣為將 Gamma(nz) 拆成 n 個錯開的片段。
別把倍量公式（把 2z 與 z 及 z+1/2 關聯）與函數方程（把 z+1 與 z 關聯）或反射公式（把 z 與 1-z 關聯）混為一談。三者都連接不同的伽瑪值，但各自回答不同的結構性問題。