魏爾斯特拉斯因式分解定理
/ VY-er-shtrahss /
多項式完全由它的根所刻畫：p(z) = c (z - r_1) ... (z - r_n)。魏爾斯特拉斯因式分解定理是一個大膽的主張：「每一個」整函數——每一個在整個平面上全純的函數——都容許一個由其零點建構的類似因式分解形式，即使零點有無窮多個。它是代數基本定理長大後的超越版本。
敘述如下。設 f 為整函數，在原點有 m 階零點（m 可為 0），其餘零點按重數列在 a_1, a_2, ... 處，且 |a_n| -> infinity。則 f(z) = z^m e^(g(z)) 乘上對 n 取 E_(p_n)(z/a_n) 的乘積，其中 g 是某個整函數，而 E_(p_n) 是次數 p_n 取得夠大以強制乘積收斂的魏爾斯特拉斯基本因子。逐塊讀它：z^m 處理原點的零點；基本因子的收斂乘積在每個 a_n 處種下正確重數的零點、且別處沒有；而單位因子 e^(g(z))——整函數且永不為零——吸收了 f 中零點看不見的一切。零點相同的兩個整函數恰好相差這樣一個不消失的因子 e^g。
誠實的內容有兩面。存在性：基本因子保證有一個恰具指定零點的收斂乘積，故這樣的因式分解總是存在。非唯一性：本定理「並不」確定 g——零點只把 f 確定到差一個 e^g 倍，因為你可以乘上任何永不為零的整函數而不擾動任何一個零點。要釘住 g 需要額外資訊（如 f 的增長速率），那是阿達馬因式分解定理的事、而非本定理。魏爾斯特拉斯告訴你零點總能被實現；它並未告訴你零點決定了函數。
整函數 sin(pi z) 在每個整數 n 處有單零點。它的魏爾斯特拉斯因式分解為 sin(pi z) = pi z 乘上對 n != 0 取 E_1(z/n) 的乘積 = pi z product over n >= 1 of (1 - z^2/n^2)。此處 m = 1（原點有一零點），次數 p_n = 1 即足夠，因為整數線性增長，而 e^g 因子原來只是給出前因子 pi 的常數——不需要任何指數。
sin(pi z) 沿其整數零點分解——典型的魏爾斯特拉斯乘積，使用次數為 1 的基本因子。
本定理提供存在性與一個形態，而非唯一性：因子 e^(g(z)) 確實是自由的，故僅憑零點永遠無法決定一個整函數。忘記這一點、把因式分解讀成「那個」公式，是常見的錯誤——兩個函數可以共享所有零點卻仍天差地遠。