魏爾斯特拉斯基本因子
/ VY-er-shtrahss /
基本因子要解決的問題如下。要造一個在點 a 處有零點的函數，最明顯的因子是 (1 - z/a)：它在 z = a 處消失、在 z = 0 處等於 1。但若你想在無窮多個奔向無窮遠的點 a_1, a_2, ... 處有零點，把所有 (1 - z/a_n) 直接相乘通常「發散」——因子趨近 1 的速度不夠快。我們需要一個方法，既保留 a_n 處的零點，又溫柔地把每個因子推回 1 附近，使乘積能收斂。魏爾斯特拉斯找到了恰到好處的那一推。
次數為 p 的基本因子是 E_p(z) = (1 - z) exp(z + z^2/2 + z^3/3 + ... + z^p/p)，而 E_0(z) = 1 - z。其想法是外科手術式的：(1 - z) 提供 z = 1 處的單一零點，而指數因子是一個不消失的修正（指數永不為零），其指數恰好是 -log(1 - z) 泰勒級數的前 p 項。由於這些項抵消了 log(1 - z) 的領頭行為，因子 E_p(z) 在 z 很小時極接近 1——精確地說，log E_p(z) 是 z^(p+1) 階的，故當 |z| <= 1 時 |1 - E_p(z)| <= |z|^(p+1)。p 取得越高，E_p 在 0 附近就越平坦，同時仍只在 z = 1 處有它的一個零點。
因此基本因子是一套可調的工具。要在 a_n 處放一個零點，使用 E_p(z/a_n)，它在 z = a_n 處消失。藉由把 p 取得夠大（取決於 a_n 奔向無窮遠的速度），你使每個 |1 - E_p(z/a_n)| 小到 |z/a_n|^(p+1)，於是這些因子的乘積收斂。這個單一而巧妙的裝置——一個提供零點的線性部分乘上一個強制收斂的指數部分——正是讓魏爾斯特拉斯因式分解定理成立的全部祕密。
E_1(z) = (1 - z) e^z。在 z = 0 附近展開：(1 - z)(1 + z + z^2/2 + ...) = 1 - z^2/2 - ...，故 1 - E_1(z) 是 z^2 階，遠小於裸因子 1 - z 的 z 階偏差。單一零點仍恰在 z = 1，但這個因子現在在原點附近緊貼 1，這正是讓這類因子的乘積能收斂的原因。
E_1 = (1 - z)e^z 保留 1 處的零點，卻把原點附近的偏差從 z 階壓平為 z^2 階。
常見的混淆：E_p 的指數部分不增加任何零點與極點——指數是整函數且永不為零——故此因子唯一的零點是 (1 - z) 在 z = 1 處的那一個。它唯一的任務是強制收斂，而非改變零點集。