伽瑪函數的函數方程
伽瑪函數所滿足的最有用的單一恆等式，是它的函數方程：Gamma(z+1) = z Gamma(z)，對任何讓兩邊都有意義的 z 都成立。用文字說，把輸入向上平移一單位，會把輸出乘上舊的輸入。這正是階乘所遵循的規則——(n+1)! = (n+1) * n!——如今對所有複數 z 都成立，而不只是整數。它是伽瑪函數的心跳，幾乎每一個關於 Gamma 的計算都從套用它開始。
不難看出這個方程的來歷：對歐拉積分做一次分部積分就直接得到它，如 Gamma(z+1) = integral of t^z e^(-t) dt = [-t^z e^(-t)] from 0 to infinity + z integral of t^(z-1) e^(-t) dt = z Gamma(z)（當 Re z > 0 時邊界項消失）。但這個方程真正的價值在於它是解析延拓的引擎。假設你只知道 Gamma 在 Re z > 0 上的樣子。把方程改寫成 Gamma(z) = Gamma(z+1)/z。右邊在 Re z > -1（除 z = 0 外）上都有意義，於是這把 Gamma 定義到再左一條帶狀區域，而在 z = 0 處的明顯爆炸正好是一個單極點。重複下去：Gamma(z) = Gamma(z+2)/(z(z+1)) 抵達 Re z > -2 並暴露 z = -1 處的極點，如此橫越整個複平面。
這種遞迴延拓也釘住了極點及其留數。在 z = -n 附近，主導因子是 1/(z+n)，所以 Gamma 在那裡有單極點；其留數算出來是 (-1)^n / n!。因此伽瑪函數在整個複平面上是亞純的，其單極點恰好落在 0, -1, -2, ... 而再無其他。一個常見的閃失：學生試圖在負整數處求 Gamma 的值並期待一個數——那裡沒有值，函數真的爆炸，這也是為何 1/Gamma 是更乾淨的整函數，其零點恰好落在那些點上。
求 Gamma 在 z = -2 處的留數。寫 Gamma(z) = Gamma(z+3) / (z(z+1)(z+2))。在 z = -2 附近只有因子 (z+2) 消失，故留數為 Gamma(1) / ((-2)(-1)) = 1/2。通式 (-1)^n / n! 在 n = 2 時給出 (-1)^2 / 2! = 1/2——兩者一致。
這個遞迴關係既把 Gamma 延拓過虛軸，又把每個極點的留數算為 (-1)^n / n!。
函數方程本身並不能唯一確定 Gamma——許多函數都滿足 f(z+1) = z f(z)（把 Gamma 乘上任何週期為 1、在整數處等於 1 的週期函數即可）。唯一性需要額外條件，例如對數凸性（Bohr-Mollerup），或魏爾斯特拉斯乘積背後的增長控制。