伽瑪函數的歐拉積分
/ OY-ler /
伽瑪函數具體從哪裡來？最乾淨的起點是歐拉發現的一個積分：對任何實部為正的複數 z，Gamma(z) = integral from 0 to infinity of t^(z-1) e^(-t) dt。把被積函數讀成一場拔河。因子 t^(z-1) 想隨 t 增大而增長（當 Re z > 0 時，它在 t = 0 附近也仍可積），而 e^(-t) 衰減得如此猛烈，在無窮遠處能馴服 t 的任何冪次。對右半平面 Re z > 0 中的每個 z，這個積分都收斂並定義出一個有限數。
為什麼這個積分配得上「階乘」之名？做一次分部積分。取 u = t^z、dv = e^(-t) dt，得到 Gamma(z+1) = integral of t^z e^(-t) dt = z * integral of t^(z-1) e^(-t) dt = z Gamma(z)——函數方程從一次分部積分中掉了出來。再配上簡單的基底情形 Gamma(1) = integral of e^(-t) dt = 1，由歸納法即得 Gamma(n+1) = n! 恰好成立。所以歐拉積分同時是 Gamma 的定義，又是它內插階乘的內建證明。在積分號下微分可知 Gamma 在 Re z > 0 上全純，因為 t^(z-1) 對 z 全純且積分收斂良好。
這個積分本身只在 Re z > 0 上收斂，所以它是種子、而非整棵樹。要抵達複平面的其餘部分，你反覆使用函數方程 Gamma(z) = Gamma(z+1)/z 往左推，這既延拓了定義，也揭示了在 0, -1, -2, ... 處的單極點。另一條路是魏爾斯特拉斯乘積公式，一筆就在整個複平面上給出 Gamma。一個值得說明的提醒：「歐拉積分」指的是「第二類」積分；「第一類」積分是貝塔函數，是近親卻是不同的積分。
用積分算 Gamma(3)。Gamma(3) = integral from 0 to infinity of t^2 e^(-t) dt。分部積分兩次（或回想 e^(-t) 的第 n 階矩為 n!）給出 integral of t^2 e^(-t) dt = 2，而確實 2 = 2! = (3-1)!。同一積分取 z = 1 給出 integral of e^(-t) dt = 1 = 0!，印證了整個歸納法所依賴的基底情形。
一次分部積分就把積分變成階乘的遞迴關係；其餘交給歸納法。
這個積分表示僅在 Re z > 0 上有效；若盲目地在例如 z = -1/2 處使用它，會得到一個發散的積分。要在虛軸左側工作，你必須先透過函數方程或魏爾斯特拉斯乘積把 Gamma 延拓過去。