平稳分布

平稳分布是随机过程的歇脚点：若链已处于这个分布，再走一步它仍不变。它是系统在每个状态上长期停留的时间比例，与起点无关（对性质良好的链而言）。

形式上，对马尔可夫矩阵 P，它是一个概率向量 pi，满足 pi = P pi（列约定）且各分量之和为 1。故 pi 是 P 关于特征值 1 的特征向量。在行约定下它是左特征向量：pi^T = pi^T P。联立 (P - I) pi = 0 与归一化 sum(pi) = 1 即可定出它。

存在性有保证，因为 1 永远是随机矩阵的特征值。唯一性与从任意起点的收敛来自佩龙-弗罗贝尼乌斯定理：若链不可约（任一状态都可从任一其他状态到达）且非周期，则 pi 唯一，且对任意起始 p_0 有 P^k p_0 -> pi。

为何重要：平稳分布正是 PageRank 所计算的对象，是告诉你排队系统均衡占用率的量，也是马尔可夫链蒙特卡洛能奏效的原因。警示：周期链有平稳分布却永不稳定到它（一直循环），而可约链可能有多个平稳分布，取决于你落入哪个陷阱。