PageRank

PageRank 用一个想法给网页的重要性打分：若有重要的页面链接到某页，则该页就重要。设想一位冲浪者永远随机点击链接；PageRank 就是长期内停留在每个页面上的时间比例。热门页面，以及被热门页面引用的页面，会累积访问。

具体地，构造一个列随机的链接矩阵，其第 j 列把页面 j 的投票均分给它所链接的各页面。为保证答案唯一，掺入随机传送：M = d * P + (1 - d) * (1/n) * J，其中 d 约为 0.85，J 是全一矩阵，1/n 是均匀跳转。如今 M 是正的随机矩阵，故佩龙-弗罗贝尼乌斯定理给出唯一的正主导特征向量。

PageRank 恰是 M 的平稳分布：特征值 1 对应的特征向量，等价地是 M^k 作用于任意初值的极限。实践中用幂法计算它，迭代 r -> M r 直到稳定；即便面对数十亿页面也可行，因为 M 是稀疏矩阵加上一个秩一修正。

为何重要：PageRank 把特征理论变成了一个搜索帝国，同一配方能为任何可建模为图的事物排名（引用、社交影响、道路重要性）。警示在于它可被操纵（链接农场）且不分主题，这正是现代排名要在其上叠加许多其他信号的原因。