随机（马尔可夫）矩阵

随机矩阵编码状态间的随机跳转。每个元素都是一个概率，整列（或按惯例整行）之和为 1，因为从任一状态出发系统总得去往某处。把一个概率向量乘以这个矩阵，就得到一步之后的概率分布。

精确地说，一个列随机矩阵 P 满足 P_ij >= 0，且每一列 j 满足对 i 求和等于 1；元素 P_ij 是从状态 j 转到状态 i 的概率。分布按 p_{k+1} = P p_k 演化，故 k 步后的分布是 P^k p_0。马尔可夫性内置其中：下一状态只依赖当前状态，与到达它的路径无关。

数字 1 永远是一个特征值（由于各列和为 1，全一向量是左特征向量），且每个特征值满足 |lambda| <= 1，这使概率保持有界。特征值 1 对应的特征向量是稳态的候选。当链不可约且非周期时，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理使该稳态唯一且全局吸引。

为何重要：马尔可夫矩阵能建模网页浏览、语言、排队、棋盘游戏与群体遗传学。警示在于真实系统只是近似无记忆，而周期或可约的链可能无法收敛到单一极限，会随起点不同而振荡或分裂。