佩龙-弗罗贝尼乌斯定理

当一个矩阵所有元素都为正时，会有一个特征值脱颖而出：它是实的、正的，模严格大于其他所有特征值，且其特征向量可取全为正。这一主导对是唯一的。这就是佩龙-弗罗贝尼乌斯定理，也是迭代这类矩阵能把任意正初值导向某个优先方向的原因。

精确地说，若 A > 0（逐元素），则存在一个单重特征值 r > 0，即佩龙根，等于谱半径，并带有严格为正的特征向量 v（佩龙向量）。弗罗贝尼乌斯把它推广到不可约的非负矩阵（其对应图强连通）：r 仍为正且有正特征向量，但对周期矩阵，其他特征值也可能落在半径为 r 的圆上。

特征向量的正性是其神奇之处。多数矩阵的特征向量正负号混杂，而佩龙向量同号，因此可读作一个分布或一份排名，永不自相抵消。

为何重要：单凭这一定理就支撑了 PageRank、不可约马尔可夫链的稳态、群体模型（Leslie 矩阵）的主导模式，以及经济投入产出均衡。警示在于不可约性：若图分裂成彼此无法到达的部分，唯一正特征向量这一干净保证就会失效。